MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [1.245]

EQUAÇÃO GRAITACIONAL -ELETROFRACA e forte QUÂNTICA DE GRACELI.

[ $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$ ] [ $S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi \right]$ ] [[ ${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }={\bar {\psi }}_{i}\left(i(\gamma ^{\mu }D_{\mu })_{ij}-m\,\delta _{ij}\right)\psi _{j}-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$ ] [ ${\mathcal {L}}_{\text{EW}}={\mathcal {L}}_{g}+{\mathcal {L}}_{f}+{\mathcal {L}}_{h}+{\mathcal {L}}_{y}~.$ ] [ / $G$ ** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

O Lagrangiano para as interações eletrofracas é dividido em quatro partes antes que a quebra de simetria eletrofraca se manifeste,

{\mathcal {L}}_{\text{EW}}={\mathcal {L}}_{g}+{\mathcal {L}}_{f}+{\mathcal {L}}_{h}+{\mathcal {L}}_{y}~.

O termo ${\mathcal {L}}_{g}$ descreve a interação entre os três bósons vetoriais W e o bóson vetorial B,

Equação da ação

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O lagrangiano EDQ para um campo de spin-1/2 interagindo com o campo eletromagnético em unidades naturais dá origem à ação:[32]

Ação na EDQ

$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi \right]$

Lagrangiana

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A dinâmica dos quarks e glúons é controlada pela lagrangiana da cromodinâmica quântica. A lagrangiana invariante de gauge da QCD é

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }={\bar {\psi }}_{i}\left(i(\gamma ^{\mu }D_{\mu })_{ij}-m\,\delta _{ij}\right)\psi _{j}-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$

onde $\psi _{i}(x)\,$ são os campos dos quarkos, uma função dinâmica do espaço tempo, na representação fundamental dogrupo de gauge SU(3), indexada por $i,\,j,\,\ldots$ ; ${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}(x)\,$ são os campos de glúons, também funções dinâmicas do espaço-tempo, na representação adjunta do grupo de gauge SU(3), indexado por a, b,... ; γ^μ são as matrizes de Dirac conectando a representação spinorial a representação vetorial do grupo de Lorentz.

O símbolo $G_{\mu \nu }^{a}\,$ representa o tensor de força do campo de glúon invariante de gauge, análogo ao tensor de força do campo eletromagnético, F^{\mu \nu} \,, em eletrodinâmica quântica. É dado por:^[8]

onde f_abc são as constantes de estrutura de SU(3). Note que as regras para mover os índices a, b, or c de cima para baixo são triviais (assinatura (+, ..., +)) de forma que f^abc = f_abc = f^a_bc ao passo que para os índices μ or ν devem ser seguidas as regras não triviais, correspondendo a assinatura métrica (+ − − −), por exemplo.

As constantes m e g controlam a massa dos quarks e as constantes de acoplamento da teoria, sujeitas a renormalização da teoria quântica completa.

Uma noção teórica importante envolvendo o termo final da lagrangiana acima é a variável do loop de Wilson. Esse loop tem papel importante nas formas discretizadas da QCD (veja QCD na rede), e de forma mais geral, distingue entre estados confinados e livres da teoria de gauge. Foi introduzido pelo físico laureado com Nobel Kenneth G. Wilson.

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $G$ * $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $/$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ +

$+$ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE INTERAÇÕES DE CAMPOS. EM ;

MECÂNICA GRACELI REPRESENTADA POR TRANSFORMADA.

dd = dd [G] = DERIVADA DE DIMENSÕES DE GRACELI.

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$

G { f [dd]} ´[d] $\psi ^{*}$ $\hbar$ $\psi$ $f [d] G*$ $T_{\mu \nu }$ $\psi$ $dd [G]$

O ESTADO QUÂNTICO DE GRACELI

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$ $\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ ]

$G* = DIMENSÕES DE GRACELI TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO COM INTERAÇÕES DE ENERGIAS, QUÂNTICAS, RELATIVÍSTICAS, , E INTERAÇÕES DE CAMPOS.$

o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético,

/ $G$ ** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Fase Berry na mecânica quântica

Em um sistema quântico no n-ésimo auto-estado, uma evolução adiabática do Hamiltoniano muda o sistema de tal forma que ele permanece no n-ésimo auto-estado do Hamiltoniano, ao mesmo tempo, obtém um fator de fase. Esta tem uma contribuição da evolução temporal do estado e outro da variação do auto-estado do Hamiltoniano que varia no tempo. O segundo termo corresponde à fase de Berry e, para variações não cíclicas do Hamiltoniano, pode ser ignorada por uma escolha diferente da fase associados com as auto-estados do Hamiltoniano em cada ponto na evolução.

No entanto, se a variação for cíclica, a fase Berry não pode ser cancelada e torna-se uma propriedade observável do sistema. A partir da equação de Schrödinger a fase de Berry $\gamma$ pode ser calculada por: [necessário esclarecer]

\gamma [C]=i\oint _{C}\!\langle n,t|\left(\nabla _{R}|n,t\rangle \right)\,dr\,

G

** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde $R$ parametriza o processo adiabático cíclico. O sistema segue um caminho fechado $C$ no espaço de parâmetros. Uma revisão recente sobre os efeitos de fase geométricas em propriedades eletrônicas foi dada por Xiao, Chang e Niu. [4] A fase geométrica ao longo do caminho fechado $C$ também pode ser calculada integrando a curvatura de Berry sobre a superfície delimitada por $C$ .

Fase geométrica e a quantização do movimento cyclotron

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Um elétron sujeito a um campo magnético $B$ se move numa órbita circular (cyclotron)[1]. Classicamente, qualquer raio $R_{c}$ de cyclotron é aceito. Já na mecânica quântica, apenas alguns níveis de energia, chamados de níveis de Landau são permitidos e já que $R_{c}$ está relacionado com a energia do elétron, isso corresponde a valores quantizados de $R_{c}$ . A condição de quantização de energia obtida ao resolver a equação de Schrödinger é, por exemplo, $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},\alpha =1/2$ para elétrons livres ou $E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\alpha =0$ para elétrons no grafeno onde $n=0,1,2,\ldots$ .[2] Apesar da derivação esses resultados não ser difícil, há uma forma alternativa de mostrá-los que dá uma intuição física sobre os níveis de Landau. Essa forma alternativa é baseada na condição semiclássica da condição de quantização de Bohr-Sommerfeld

$\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2)$

que inclui a fase geométrica $\gamma$ adquirida pelo elétron quando ele executa seu movimento no espaço real ao longo do loop fechado da órbita do cyclotron.[8] Para um elétron livre, $\gamma =0$ enquanto $\gamma =\pi$ para elétrons no grafeno. Acontece que a fase geométrica está diretamente ligada $\alpha =1/2$ do elétron livre e a $\alpha =0$ para o elétron no grafeno.

Na física quântica, a amplitude de dispersão é a amplitude de probabilidade da saída onda esférica[1] em relação à onda plana de entrada no processo de dispersão do estado estacionário[2] .

Este processo de dispersão é descrito pela seguinte função de onda

\psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,

G

** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde $\mathbf {r} \equiv (x,y,z)$ é o vetor de posição; $r\equiv |\mathbf {r} |$ ; $e^{ikz}$ é a onda plana de entrada com o número de onda $k$ ao longo do eixo $z$ ; $e^{ikr}/r$ é a onda esférica de saída; $θ$ é o ângulo de dispersão; e $f(\theta )$ é a amplitude de espalhamento. A dimensão da amplitude de dispersão é o comprimento.

A amplitude de dispersão é uma amplitude de probabilidade; a secção transversal do diferencial como uma função de ângulo de dispersão é dado como o seu módulo quadrado[3],

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.

G

** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Em física quântica, a Teoria de Regge é o estudo das propriedades analíticas de dispersão como função de momento angular. Por exemplo spin electrónico (elétrons) podem apresentar movimento de rotação em dois sentidos diferentes, por isso é que dois elétrons podem ocupar o mesmo nível ao mesmo tempo, ou 4 ou 8… . Elétrons e Quarks todos possuem Spin de 1/2 e Grávitons Spin 2[1]. Aplicando a matemática Função Beta foi possível explicar a presença dessas linhas retas, como sendo filamentos[2]. Assim nasceu a primeira teoria da corda chamada Primeira-quantificação da corda que se dividiram em cordas abertas e cordas fechadas. Cordas abertas têm menos modos de vibração que cordas fechadas, pois possuem as pontas livres, na corda fechada para manter as pontas fixas é necessário mais modos de vibração[3]. Esta teoria não-relativística foi desenvolvido por Tullio Regge, em 1957.

Pólos de Regge

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O exemplo mais simples dos pólos de Regge é fornecido pela abordagem mecânica quântica do potencial de Coulomb $V(r)=-e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}r)$ ou, diferentemente, pelo tratamento mecânico quântico da ligação ou dispersão de um elétron de massa e carga elétrica $-e$ de um próton de massa $M$ e carga $+e$ . A energia $E$ da ligação do elétron ao próton é negativa, enquanto que, para a dispersão, a energia é positiva. A fórmula para a energia de ligação é a expressão:

l\rightarrow l(E)=-n+g(E),\;\;g(E)=-1+i{\frac {\pi e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}h}}(2m'/E)^{1/2}.

G

** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Considerada como uma função complexa de $E$ , essa expressão descreve no plano- $l$ complexo um caminho que é chamado de "trajetória de Regge". Assim, nesta consideração, o momento orbital pode assumir valores complexos.

As trajetórias de Regge podem ser obtidas para muitos outros potenciais, em particular também para o potencial de Yukawa[4].

As trajetórias de Regge aparecem como pólos da amplitude de dispersão[5] ou na matriz-S relacionada. No caso do potencial de Coulomb considerado acima, esta matriz-S é dada pela seguinte expressão:

S={\frac {\Gamma (l-g(E))}{\Gamma (l+g(E))}}e^{-i\pi l},

G

** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde $\Gamma (x)$ é a função gama, uma generalização de fatorial $(x-1)!$ .

Esta função gama é uma função meromorfa do seu argumento com pólos simples em $x=-n,n=0,1,2,...$ . Assim, a expressão para $S$ (a função gama no numerador) possui pólos precisamente nesses pontos, que são dadas pela expressão acima para as trajetórias de Regge; por isso o nome pólos de Regge.

Este processo de dispersão é descrito pela seguinte função de onda

\psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,

G

** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A amplitude de dispersão é uma amplitude de probabilidade; a secção transversal do diferencial como uma função de ângulo de dispersão é dado como o seu módulo quadrado[3],

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.

G

** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Para um sistema físico composto por partículas de spin zero, existe um potencial de Coulomb blindado que é conhecido como potencial de Yukawa. Tal pontencial é da forma

$V\left(r\right)=-{\frac {g_{s}}{4\pi r}}e^{-{\frac {mrc}{\hbar }}}$

$G$

e que é, claramente, um potencial do tipo central. Na equação acima, $g_{s}$ é uma constante (positiva) de acoplamento que configura a intensidade da força efetiva, $m$ é a massa da partícula afetada pelo potencial, $c$ é a velocidade da luz e $\hbar$ a constante de Planck. Naturalmente, podemos mostrar que o potencial $V(r)$ está associada a uma força sempre atrativa.